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系统微分方程的解—系统的全响应
xiao_xiao1 发表于 2009/9/23 16:43:21 674 查看 3 回复 [上一主题] [下一主题]
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一、 线性系统微分方程线性的证明 | |||
线性系统必须同时满足齐次性与叠加性。所以，要证明线性系统的微分方程是否是线性的，就必须证明它是否同时满足齐次性与叠加性。 线性系统微分方程的一般形式是 | |||
| (2-5) | ||
设该方程对输入f1(t)的解是y1(t)，则有 | |||
| (2-6) | ||
设该方程对输入f2(t)的解是y2(t)，则有 | |||
| (2-7) | ||
给式(2-6)等号两端同乘以任意常数A1，给式(2-7)等号两端同乘以任意常数A2，则有 | |||
| |||
| |||
将此两式相加即有 | |||
| |||
这就是说，若 f1(t) | |||
二、 系统微分方程的解——系统的全响应
| |||
求系统微分方程的解，实际上就是求系统的全响应y(t)。系统微分方程的解就是系统的全响应y(t)。线性系统的全响应y(t)，可分解为零输入响应yx(t)与零状态响应yf(t)的叠加，即 | |||
在图2-2中，若激励f(t)=0，但系统的初始条件不等于零，此时系统的响应即为零输入响应yx(t)，如图2-4(a)所示。根据式(2-5)可写出此时系统的微分方程为: | |||
| (2-8) | ||
| |||
在图2-2中，若激励 | |||
| (2-9) |
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将式(2-8)与式(2-9)相加得 | |||
| |||
即 | |||
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式中 | |||
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可见 | |||
y1(t), f2(t) 
y2(t) 则 A1f1(t)+A2f2(t) 
A1y1(t)+A2y2(t)，即式(2-5)所描述的系统是线性的。
。下面证明此结论。
，但系统的初始条件等于零(即为零状态系统)，此时系统的响应即为零状态响应yf(t)，如图2-4(b)所示。根据式(2-5)可写出此时系统的微分方程为
确是系统微分方程(2-5)的解。这个结论提供了求系统全响应y(t)的途径和方法，即先分别求出零输入响应yx(t)与零状态响应yf(t)，然后再将yx(t)与yf(t)叠加，即得系统的全响应y(t)，即-
引用 junhong07 2009/9/16 19:28:03 发表于2楼的内容
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引用 天山数码 2009/9/19 23:44:14 发表于3楼的内容
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yutian_cechina | 当前状态：在线
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yutian_cechina 发表于 2009/9/23 16:43:21
4楼 回复本楼
引用 yutian_cechina 2009/9/23 16:43:21 发表于4楼的内容
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