1.差错检测
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数据通信中，接收端需要检测在传输过程中是否发生差错，常用的技术有奇偶校验(Parity
Check)，校验和(Checksum)和CRC(Cyclic Redundancy Check)。它们都是发送端对消息按照
某种算法计算出校验码，然后将校验码和消息一起发送到接收端。接收端对接收到的消息按
照相同算法得出校验码，再与接收到的校验码比较，以判断接收到消息是否正确。 奇偶校验只需要1位校验码，其计算方法也很简单。以奇检验为例，发送端只需要对所有消息
位进行异或运算，得出的值如果是0，则校验码为1，否则为0。接收端可以对消息进行相同计
算，然后比较校验码。也可以对消息连同校验码一起计算，若值是0则有差错，否则校验通过。
通常说奇偶校验可以检测出1位差错，实际上它可以检测出任何奇数位差错。
校验和的思想也很简单，将传输的消息当成8位(或16/32位)整数的序列，将这些整数加起来
而得出校验码，该校验码也叫校验和。校验和被用在IP协议中，按照16位整数运算，而且其
MSB(Most Significant Bit)的进位被加到结果中。
显然，奇偶校验和校验和都有明显的不足。奇偶校验不能检测出偶数位差错。对于校验和，
如果整数序列中有两个整数出错，一个增加了一定的值，另一个减小了相同的值，这种差错
就检测不出来。
2.CRC算法的基本原理
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CRC算法的是以GF(2)(2元素伽罗瓦域)多项式算术为数学基础的，听起来很恐怖，但实际上它
的主要特点和运算规则是很好理解的。
GF(2)多项式中只有一个变量x，其系数也只有0和1，如：
1*x^7 + 0*x^6 + 1*x^5 + 0*x^4 + 0*x^3 + 1*x^2 +1*x^1 + 1*x^0
即：
x^7 + x^5 + x^2 + x + 1
(x^n表示x的n次幂)
GF(2)多项式中的加减用模2算术执行对应项上系数的加减，模2就是加减时不考虑进位和借位，
即：
0 + 0 = 0 0 - 0 = 0
0 + 1 = 1 0 - 1 = 1
1 + 0 = 1 1 - 0 = 1
1 + 1 = 0 1 - 1 = 0
显然，加和减是一样的效果(故在GF(2)多项式中一般不出现"-"号)，都等同于异或运算。例
如P1 = x^3 + x^2 + 1，P2 = x^3 + x^1 + 1，P1 + P2为： x^3 + x^2 + 1
+ x^3 + x + 1
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x^2 + x
GF(2)多项式乘法和一般多项式乘法基本一样，只是在各项相加的时候按模2算术进行，例如
P1 * P2为：
(x^3 + x^2 + 1)(x^3 + x^1 + 1)
= (x^6 + x^4 + x^3
+ x^5 + x^3 + x^2
+ x^3 + x + 1)
= x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
GF(2)多项式除法也和一般多项式除法基本一样，只是在各项相减的时候按模2算术进行，例
如P3 = x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x，P3 / P2为：
x^4 + x^3 + 1 PLC
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x^3 + x + 1 )x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x
x^7 + x^5 + x^4
---------------------
x^6 + x^4
x^6 + x^4 + x^3
---------------------
x^3 + x^2 + x
x^3 + x + 1
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x^2 + 1
CRC算法将长度为m位的消息对应一个GF(2)多项式M，比如对于8位消息11100110，如果先传输
MSB，则它对应的多项式为x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x。发送端和接收端约定一个次数为r的
GF(2)多项式G，称为生成多项式，比如x^3 + x + 1，r = 3。在消息后面加上r个0对应的多
项式为M'，显然有M' = Mx^r。用M'除以G将得到一个次数等于或小于r - 1的余数多项式R，
其对应的r位数值则为校验码。如下所示： 11001100 PLC
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1011 )11100110000
1011.......
----.......
1010......
1011......
----......
1110...
1011...
----...
1010.. PLC资料网
1011..
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100 <---校验码 发送端将m位消息连同r位校验码(也就是M' + R)一起发送出去，接收端按同样的方法算出收
到的m位消息的校验码，再与收到的校验码比较。接收端也可以用收到的全部m + r位除以生
成多项式，再判断余数是否为0。这是因为，M' + R = (QG + R) + R = QG，这里Q是商。显
然，它也可以像发送端一样，在全部m + r后再增加r个0，再除以生成多项式，如果没有差错
发生，余数仍然为0。
